Eva Zerz's Algebra [Lecture notes] PDF

Posted On February 7, 2018 at 10:27 pm by / Comments Off on Eva Zerz's Algebra [Lecture notes] PDF

By Eva Zerz

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Nun folgt der Rest aus dem nachstehenden Hilfssatz. 7 Sei N ein Normalteiler der Gruppe G. Wenn sowohl N als auch G/N keine nichttrivialen perfekten Untergruppen haben, dann gilt das auch f¨ ur G. Bemerkung: Ist G eine Gruppe, N ein Normalteiler von G, U eine Untergruppe von G, so ist U N = {un | u ∈ U, n ∈ N } eine Untergruppe von G, und N ist ein Normalteiler von U N . 11). Beweis: Sei U = {e} eine Untergruppe von G. Wenn U ⊆ N gilt, dann folgt aus der Annahme sofort U = U . Sei also U ⊆ N . Es ist U N eine Untergruppe von G, und N ein Normalteiler von U N , also ist U N/N eine Untergruppe von G/N .

Ek gelten. Der Beweis zeigt auch, dass es genau ej Faktorgruppen Gi /Gi+1 geben muss, die zu Cpj isomorph sind. Beispiel: Die Kommutatorreihe S3 C3 {e} ist bereits eine Kompositionsreihe. Die Faktoren sind Abelsch und haben die Ordnungen 2 und 3, was wegen 6 = 2 · 3 auch so sein muss. Die Kompositionsreihe von S3 ist eindeutig bestimmt. Die zyklische Gruppe C6 hingegen hat die Kompositionsreihen C6 C3 {e} und C6 C2 {e}. Die Annahme, dass die Faktorgruppen Abelsch sind, ist nat¨ urlich restriktiv.

Da G/Z(G) nilpotent ist und den Nilpotenzgrad l − 1 hat, folgt per Induktionsannahme H/Z(G) N (H/Z(G)). Andererseits ist N (H/Z(G)) = N (H)/Z(G), also H N (H), ein Widerspruch. 5. 20: Da p-Sylow-Untergruppen insbesondere p-Gruppen sind, sind sie nilpotent. Man u ¨berlegt sich leicht: Das kartesische Produkt von nilpotenten Gruppen ist nilpotent. Sei umgekehrt G nilpotent und p ∈ P mit p | |G|. Sei H eine p-Sylow-Untergruppe von G. Behauptung: H ist ein Normalteiler von G. W¨are H kein Normalteiler von G, so w¨are N (H) eine echte Untergruppe von G.

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